Permutasi

 

Dalam satu kelas yang terdiri atas 36 siswa, akan dipilih seorang ketua kelas, sekretaris, dan bendahara. Berapa banyak susunan pengurus yang dapat disusun? Untuk menjawab masalah tersebut, materi permutasi harus dikuasai dengan baik. 

Perhatikan Contoh 1 berikut.

Contoh 1.

Dari 4 calon pengurus kelas, akan dipilih ketua dan sekretaris. Berapa banyak susunan ketua dan sekretaris yang dapat dibuat?

Penyelesaian:
Misalkan nama-nama calon pengurus tersebut adalah A, B, C, dan D, maka susunan pengurus yang dapat dibuat berturut-turut ketua dan sekretaris adalah:
AB    BA    CA    DA
AC    BC    CB    DB
AD    BD    CD    DC
Jadi banyaknya susunan ketua dan sekretaris yang dapat dibuat adalah 12 susunan.

Contoh 1 di atas adalah Permutasi.

Permutasi adalah banyaknya cara penyusunan objek yang diambil sebagian atau seluruhnya dengan memperhatikan urutannya.

Hal penting yang harus diingat dalam Permutasi adalah bahwa urutan diperhatikan. Artinya susunan $AB$ berbeda dengan $BA$, demikian  pula $ABC$ berbeda dengan $BCA$.

Notasi atau lambang Permutasi adalah $P$. Jika sebanyak $r$ unsur diambil dari $n$ unsur maka banyaknya susunan yang terbentuk disebut Permutasi $r$ dari $n$, dirumuskan sebagai berikut.

\[_{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\]

Lambang $n!$ adalah Faktorial. Jika kurang jelas, silahkan baca kembali materi Faktorial.

Coba hitung penyelesaian soal pada contoh 1 dengan menggunakan rumus di atas!

Penyelesaian Contoh 1:

Diketahui: 

Banyak calon adalah 4 orang, sehingga $n=4$

Dipilih ketua dan sekretaris, sehingga $r=2$

Ditanya: 

$_{4}P_{2}$=....

Jawab:

$_{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}$

$_{4}P_{2}=\frac{4!}{(4-2)!}$

$=\frac{4!}{2!}$

$=\frac{4.3.\not{2!}}{\not{2!}}$

$=4.3=12$

Jadi banyaknya susunan ketua dan sekretaris yang dapat dibuat adalah 12 susunan.  

Contoh 2.

Tentukan banyak susunan panitia yang berbeda yang terdiri dari ketua, wakil ketua, dan bendahara dari 10 orang calon!

Penyelesaian:

Diketahui: 

Banyak calon adalah 10 orang, sehingga $n=10$

Dipilih ketua, wakil ketua, dan bendahara, sehingga $r=3$

Ditanya: 

$_{10}P_{3}$=....

Jawab:

$_{10}P_{3}=\frac{10!}{(10-3)!}$

$=\frac{10!}{7!}$

$=\frac{10.9.8.\not{7!}}{\not{7!}}$

$=10.9.8=720$

Jadi, banyaknya susunan ketua, wakil ketua, dan bendahara dari 10 orang calon adalah 720 susunan.

Contoh 3. 

Lima tangga nada, yaitu do, re, mi, fa, dan sol akan disusun menjadi tiga nada berbeda. Berapa banyak susunan yang dapat dibuat?

Penyelesaian:

Diketahui: 

Banyak nada adalah 5, sehingga $n=5$

Disusun 3 nada, sehingga $r=3$

Ditanya: 

$_{5}P_{3}$=....

Jawab:

$_{5}P_{3}=\frac{5!}{(5-3)!}$

$=\frac{5!}{2!}$

$=\frac{5.4.3.\not{2!}}{\not{2!}}$

$=5.4.3=60$

Jadi, banyak susunan nada yang dapat dibuat adalah 60 susunan. 

Latihan

1. Hitunglah nilai dari $_{8}P_{3}$!

2. Dari huruf a, i, u, e, dan o, akan dibuat susunan 2 huruf. Berapa banyak susunan yang dapat dibuat? 

3. Dalam pemilihan ketua dan wakil ketua OSIS, terdapat enam calon. Jika panitia akan memasangkan keenam calon tersebut, berapa susunan yang dapat dibuat?
   

4. Tujuh peserta lomba angkat beban akan memperebutkan tiga posisi, yaitu juara 1, juara 2, dan juara 3. Berapa banyak susunan juara 1, juara 2, dan juara 3 yang dapat dibuat dari ketujuh peserta lomba?

Share :