Kombinasi

 

Seorang pelukis memiliki 12 warna cat. Ia ingin mencampurkan tiap 3 warna agar menghasilkan lebih banyak warna. Berapa warna baru yang dihasilkannya?

Untuk menjawab masalah ini, kamu harus memahami materi kombinasi.

Contoh 1.

Dari warna merah, kuning, hijau, dan putih, akan dicampurkan 2 warna agar memperoleh warna baru. Berapa banyaknya warna baru yang dihasilkan?

Penyelesaian:
Misalkan Merah = M, Kuning = K, Hijau = H, dan Putih = P.
Campuran yang dapat dibuat: MK, MH, MP, KH, KP, HP.
Jadi ada 6 warna baru yang dapat dibuat.

Contoh 1 adalah Kombinasi.

Kombinasi adalah banyaknya cara penyusunan unsur-unsur tanpa memperhatikan urutannya. 

Hal penting yang harus diingat dalam Kombinasi adalah bahwa urutan tidak diperhatikan. Artinya susunan $AB$ sama dengan $BA$ sehingga dihitung sebagai satu susunan. Demikian pula $ABC$ sama dengan $BCA$ yang juga dihitung sebagai satu susunan.

Notasi atau lambang Kombinasi adalah $C$. Jika sebanyak $r$ unsur diambil dari $n$ unsur tanpa memperhatikan urutannya maka banyaknya susunan yang terbentuk disebut Kombinasi $r$ dari $n$, dirumuskan sebagai berikut.

\[_{n}C_{r}=\frac{n!}{(n-r)!.r!}\]

Lambang $n!$ adalah Faktorial. Jika kurang jelas, silahkan baca kembali materi Faktorial.

Sekilas, rumus Kombinasi terlihat mirip dengan rumus Permutasi. Silahkan cek perbedaan keduanya. 

Sekarang, kita akan coba menghitung penyelesaian Contoh 1 di atas dengan rumus Kombinasi.

Penyelesaian Contoh 1:

Diketahui:

Warna yang tersedia adalah merah, kuning, hijau, dan putih, sehingga $n=4$

Banyak warna yang akan dicampurkan adalah 2, sehingga $r=2$

Ditanya:

$_{4}C_{2}=...$

Jawab:

$_{n}C_{r}=\frac{n!}{(n-r)!.r!}$

$_{4}C_{2}=\frac{4!}{(4-2)!.2!}$

$= \frac{4!}{2!.2!}$

$=\frac{4.3.\not{2!}}{\not{2!}.2.1}$

$=\frac{4.3}{2.1}$

$=\frac{12}{2}$

$=6$

Jadi, ada 6 warna baru yang dapat dibuat.

 

Contoh 2.

Ekstrakurikuler Dharmagita memiliki tujuh anggota. Untuk mewakili sekolah dalam lomba di tingkat kabupaten, akan dipilih tiga orang peserta. Berapa banyak susunan peserta yang dapat dibuat?

Penyelesaian:

Diketahui:

Banyak peserta ekstrakurikuler adalah 7 orang, sehingga $n=7$

Akan dipilih 3 orang, sehingga $r=3$

Ditanya:

$_{7}C_{3}=...$

Jawab:

$_{n}C_{r}=\frac{n!}{(n-r)!.r!}$

$_{7}C_{3}=\frac{7!}{(7-3)!.3!}$

$= \frac{7!}{4!.3!}$

$=\frac{7.6.5.\not{4!}}{\not{4!}.3.2.1}$

$=\frac{7.6.5}{3.2.1}$

$=\frac{7.\not{6!}.5}{\not{6!}}$

$=7.5$

$=35$

Jadi, banyak susunan peserta yang dapat dibuat adalah 35 susunan.

 

Contoh 3.

Dalam sebuah kelas terdapat 7 laki-laki dan 8 perempuan. Akan dipilih peserta gerak jalan yang terdiri dari 4 laki-laki dan 6 perempuan. Berapa banyak cara membentuk susunan peserta gerak jalan tersebut?

Penyelesaian:

Diketahui:

Banyak siswa laki-laki adalah 7 orang, sehingga $n_{1}=7$

Banyak siswa perempuan adalah 8 orang, sehingga $n_{2}=8$

Akan dipilih 4 laki-laki dan 6 perempuan, sehingga $r_{1}=4$ dan $r_{2}=6$

Ditanya:

$_{7}C_{4}\times_{8}C_{6}=...$

Jawab:

Pemilihan siswa laki-laki:

$_{7}C_{4}=\frac{7!}{(7-4)!.4!}$

$= \frac{7!}{3!.4!}$

$=\frac{7.6.5.\not{4!}}{3.2.1.\not{4!}}$

$=\frac{7.6.5}{3.2.1}$

$=\frac{7.\not{6!}.5}{\not{6!}}$

$=7.5$

$=35$

 

Pemilihan siswa perempuan:

$_{8}C_{6}=\frac{8!}{(8-6)!.6!}$

$= \frac{8!}{2!.6!}$

$=\frac{8.7.\not{6!}}{2.1.\not{6!}}$

$=\frac{8.7}{2.1}$

$=\frac{56}{2}$

$=28$

Jadi, banyak cara pemilihan peserta gerak jalan yang terdiri dari 4 laki-laki dan 6 perempuan adalah $35\times28=980$ susunan.

Latihan

1. Hitunglah nilai dari  $_{8}C_{5}$
2. Seorang pelukis memiliki 12 warna cat. Ia ingin mencampurkan tiap 3 warna agar menghasilkan lebih banyak warna. Berapa warna baru yang dihasilkannya?
3. Dari 10 peserta ekstrakurikuler Pramuka, akan dipilih 4 orang sebagai peserta Raimuna. Berapa banyak cara pemilihan peserta Raimuna tersebut?
4. Disediakan 8 soal latihan dan siswa wajib mengerjakan 4 soal diantaranya. Berapa banyak cara pemilihan soal yang dikerjakan siswa?
5. Rapat wali kelas dihadiri oleh 12 peserta. Jika tiap peserta saling bersalaman, berapa banyak salaman yang terjadi?
   

Share :